Dla ilustracji problemu rozważmy następującadanie: Mamy dane współrzędne x, y pewnego punktu osnowy poziomej I klasy w układzie „1992”, pozyskane z nowego wyrównania sieci na elipsoidzie GRS-80. Stosując poznane formuły matematyczne, przekształcamy je na przykład do strefy 1. układu „1965” (pamiętamy, że na drodze przekształcenia uwzględniamy przybliżoną informację o wysokości elipsoidalnej punktu):

(symbole [a]-[e] oznaczają kolejne operacje elementarne w przekształceniu współrzędnych).

Tymczasem dla tego samego punktu w układzie 1965/1 istnieją już współrzędne archiwalne, pochodzące z dawnych wyrównań sieci na elipsoidzie Krasowskiego; oznaczmy je

(~x, ~y)_1965/1 (rys. 1).

Na podstawie takiego lub podobnych testów przeprowadzonych w różnych strefach układu „1965” możemy się przekonać, że wyniki przekształceń matematycznych (1) nie pokryją się na ogół z wartościami odpowiadających współrzędnych archiwalnych, a różnice (maksymalne w strefie 3 dochodzą nawet do 1 m) mają wyraźne cechy lokalnych lub globalnych (strefowych) odchyleń systematycznych. Biorąc pod uwagę, że nowo pozyskane współrzędne punktów I klasy w układzie „1992” charakteryzują się względnie wysoką dokładnością (w świetle przeprowadzonej analizy, przeciętny błąd położenia punktu względem nawiązawczej sieci POLREF i EUREF-POL nie przekracza wartości 0,02 m, mimo że do nowego wyrównania użyto zbiorów obserwacji archiwalnych) można przypuszczać, że relatywnie niewielkie różnice pomiędzy współrzędnymi obliczonymi a archiwalnymi są wynikiem odmienności dawnych rozwiązań i opracowań numerycznych sieci, najpierw na elipsoidzie Krasowskiego, a następnie w poszczególnych strefach układu „1965” (należy mieć przy tym na uwadze nieporównywalne w różnych epokach możliwości techniki obliczeniowej).

Przyjmiemy umownie, że współrzędne przeliczone generują matematyczny układ „1965”, zaś współrzędne archiwalne - odpowiadający układ empiryczny „1965”. Zakładamy, że układ empiryczny wraz z całym archiwum map, poza doraźną aktualizacją (do roku 2009 – w świetle cytowanego rozporządzenia Rady Ministrów), nie powinien podlegać już zasadniczym modernizacjom. Dlatego wszelkie przeliczenia punktów z nowych układów odwzorowawczych elipsoidy GRS-80 (z systemu ETRF’89) do układu „1965” powinny zakładać „dopasowanie” współrzędnych obliczonych do istniejących już odpowiedników empirycznych (archiwalnych). Oznacza to konieczność zastosowania dodatkowego przekształcenia współrzędnych:

Istnieją różne „szkoły” wykonania tego zadania. Omówimy je pokrótce. Tymczasem zauważmy, że analogiczny problem wystąpi również przy przeliczaniu odwrotnym do (1), czyli z układu „1965” do układu „1992” lub „2000” i to – jak się wydaje – będzie stanowić istotne zadanie technologiczne w najbliższych latach. O ile operacja (2) oznacza pewne „świadome” zniekształcanie układu „dobrego”, operacja odwrotna będzie oznaczać „naprawianie” (korygowanie) zniekształconego układu archiwalnego (po to, by wejść do układu nowego z możliwie najlepszym efektem jakościowym).

W przykładowym przekształceniu (1), które według przyjętej umowny generuje układ matematyczny „1965”, występuje operacja [c], której geneza nie jest jednak „czysto” matematyczna. Jak już wspomniano we wcześniejszych wykładach, parametry owej transformacji [c] estymowano na podstawie punktów sieci POLREF (dysponowano współrzędnymi punktów tej sieci w obu układach elipsoidalnych). Warto w tym miejscu nadmienić, że uzyskane w tej estymacji odchyłki współrzędnych miały wartość przeciętną ok. 0,20 m. Pomimo takiego efektu stochastycznego przyjmujemy, że ostateczna formuła transformacyjna, definiująca niejako na nowo położenie elipsoidy Krasowskiego (obecnie względem elipsoidy GRS-80) ma charakter matematycznego (stałego) założenia. W związku z tym całkowita odchyłka pomiędzy matematycznym a empirycznym układem „1965”, kumuluje się na końcowym etapie przekształcenia współrzędnych i jako taka tylko jest przedmiotem oceny lub podejmowania decyzji w aspekcie skutków.

Jeśli różnice pomiędzy współrzędnymi obliczonymi (matematycznymi) a empirycznymi (archiwalnymi) na punktach łącznych nie przekraczają poziomu dopuszczalnego błędu współrzędnych, to mamy do czynienia z przypadkiem, kiedy korekta typu (2) nie jest konieczna. W typowych sytuacjach praktycznych takie „zdarzenie dokładnościowe” będzie raczej wyjątkiem. W ogólności zajdzie potrzeba jakiejś konkretnej realizacji formuły korekcyjnej typu (2). Wyróżnimy w związku z tym następujące rodzaje korekt:

• globalne (dla całej strefy) o charakterze przekształcenia wiernokątnego,
• globalne o charakterze afinicznym,
• lokalne (ograniczone do obszaru opracowania, fragmentu strefy) oparte na danym lokalnym zbiorze punktów dostosowania (punktów łącznych), realizowane przy zastosowaniu transformacji Helmerta oraz dodatkowej korekty (korekty posttransformacyjnej) Hausbrandta [14], mającej na celu „wyzerowanie” odchyłek na punktach łącznych i odpowiednie skorygowanie z tego tytułu wszystkich pozostałych punktów transformowanych.

• matematycznej,
• matematycznej skorygowanej (z globalną korektą konforemną),
• empirycznej (z globalną korektą afiniczną).

Rys. 2. Ilustracja do problemu niejednoznaczności korekt lokalnych Rys. 3. Schemat korekt odwrotnych: a) globalna , b) lokalna

W przypadku korekt konforemnych przekształcenie z układu matematycznego do układu empirycznego (lub odwrotnie) dokonuje się przy wykorzystaniu ogólnych wielomianów zespolonych:

gdzie: argument zespolony u jest utworzony ze współrzędnych pierwotnych (w zależności od kierunku korekty będą to współrzędne matematyczne lub empiryczne):

u = ( u_x, u_y ) ; u_x = (x - x_o) · s , u_y = (y - y_o) · s,

x, y - współrzedne pierwotne, x_o , y_o - parametry centrujące,

s - parametr skalujący (normujący) dobrany tak, by w całym obszarze strefy

był spełniony warunek: | u | < 1,

c_i = ( a_i , b_i) - zespolone współczynniki wielomianu wyznaczone jednokrotnie dla

całej strefy (wprowadzone na stałe do programu komputerowego),

Z = (X, Y) - współrzędne wynikowe (skorygowane, w układzie wtórnym),

Z_o = (X_o, Y_o) - pomocnicze współrzędne centrujące w układzie wtórnym.

W tabeli 1 [wejście na tabelę 1. tab_1] podano przykładowe parametry korekty konforemnej dla strefy 4. układu „1965”oraz fragment programu realizującego formułę wielomianu zespolonego. Ze względu na ograniczone ramy wykładu, nie rozwijamy już tematyki korekt afinicznych, które opierają się na ogólnych formułach wielomianowych. Komplet parametrów i funkcji korekcyjnych zarówno konforemnych, jak i afinicznych, dla wszystkich stref układu „1965” jest zaaplikowany w pakiecie GEONET_unitrans [10].

Ilustracją efektu zastosowania korekt globalnych niech będzie poniższy przykład. Wybrano 4 punkty I klasy położone w skrajnych miejscach strefy 4, układu „1965” (rys. 4). Wychodząc od współrzędnych geodezyjnych B,L tych punktów na elipsoidzie GRS-80, dokonano ich przekształcenia do układu „1965”, stosując opcję matematyczną, matematyczną skorygowaną (przy zastosowaniu korekty konforemnej według tabeli 1) oraz opcję empiryczną (z ogólną korektą wielomianową – bez warunku konforemności).

Wyniki każdego przekształcenia porównano ze współrzędnymi katalogowymi (archiwalnymi) punktów w układzie „1965”. Rezultaty porównań prezentuje tabela 2.

Tab. 2. Ilustracja zmniejszania się odchyłek przy zastosowaniu korekt globalnych.

Tabela 3 podaje przeciętne (co do wartości bezwzględnej) i maksymalne odchylenia współrzędnych matematycznych (bez korekty i z korektami globalnymi) od współrzędnych archiwalnych, zidentyfikowane na punktach I klasy. Ze szczegółowej analizy różnic współrzędnych można wynieść, że istotne odchylenia „od matematyki” widoczne są zwłaszcza w strefie 3. układu „1965”, gdzie historycznie rzecz biorąc osnowa geodezyjna nie stanowiła jednolitego i jednorodnego układu obserwacyjnego. Drugie nie mniej istotne spostrzeżenie dotyczy strefy 5., gdzie zaznacza się widoczne przesunięcie układu empirycznego po osi X w granicach ok. 0,5 m.

Tab. 3. Statystyka odchyłek empirycznego układu „1965”

Transformacja Helmetra (przez podobieństwo lub liniowa transformacja konforemna). W pierwszym etapie wyznaczamy współczynniki transformacji na podstawie współrzędnych punktów dostosowania (łącznych). Oznaczmy {(x_i , y_i ): i = 1, 2, ... , n }, { (X_i , Y_i ): i =1, 2, ... , n } dane zbiory współrzędnych tych punktów w odpowiednich układach: pierwotnym i aktualnym. Obliczamy najpierw współrzędne środków ciężkości zbiorów punktów w obu układach i dokonujemy odpowiedniego centrowania współrzędnych:

(dla wszystkich i = 1,2, ... , n) .

Szukane współczynniki transformacji wyrażają się wzorami:

gdzie:

Teraz możemy już realizować samą transformację (przekształcenie współrzędnych z układu pierwotnego do wtórnego), stosując wzory:

x, y - współrzędne punktu w układzie pierwotnym, X’, Y’ - współrzędne punktu po transformacji (w układzie wtórnym).

Dla wszystkich punktów dostosowania obliczamy stosowne odchyłki współrzędnych katalogowych (poprawki do współrzędnych z transformacji):

(i - wskaźnik punktu dostosowania), a na ich popdstawie - błąd transformacji jako średniokwadratową odchyłkę wypadkową punktu

przy czym przyjmujemy f = n (zamiast f = n -2 ) uznając, że parametr m_t jest tylko umowną miarą jakości dopasowania (w ujęciu stochastycznym parametr ten byłby wprawdzie pewnym oszacowaniem błędu położenia punktu, ale ocena taka nie jest dostatecznie wiarygodna, gdyż opisane zadanie zakłada uproszczony model stochastyczny dla wielkości, które nie są bezpośrednimi obserwacjami, a ponadto nadwymiarowość układu będzie w praktyce na ogół istotnie ograniczona). Niezależnie od powyższych wątpliwości, odchyłki i błąd transformacji są podstawą do jakiejś oceny poprawności współrzędnych punktów dostosowania w danej klasie sieci. Współczynniki transformacji C, S mają następującą interpretację:

Korekta posttransformacyjna Hausbrandta. W wyniku zastosowania wzorów (10) wszystkie punkty dostosowania otrzymają nowe współrzędne, które nie muszą się pokrywać z istniejącymi już współrzędnymi katalogowymi (archiwalnymi) tych punktów. Różnice określone wzorami (11) są odchyłkami transformacji. Aby nie zmieniać dotychczasowych współrzędnych (archiwalnych) stosujemy pewnego rodzaju dodatkowe „uzgodnienie” współrzędnych, które nazywa się korektą Hausbrandta [14]. Polega ona na tym, że współrzędne punktów dostosowania w układzie wtórnym pozostawia się bez zmiany (można powiedzieć inaczej, że do współrzędnych transformowanych (10) dodaje się wartości poprawek (11), powracając tym samym do wartości współrzędnych katalogowych), natomiast wszystkim pozostałym punktom transformowanym (poza punktami dostosowania) przydziela się poprawki wyznaczone przy zastosowaniu specjalnych wzorów interpolacyjnych (w ten sposób następuje niejako świadome deformowanie wyników transformacji Helmerta, narzucone przez warunek niezmienności współrzędnych katalogowych):

Rys. 5. Ilustracja do zadania korekty Hausbrandta

(sumowania po i = 1, 2, ... , n ; j -wskaźnik punktu transformowanego)

Jak widać, przedstawione wzory wykazują podobieństwo do średnich ważonych, gdzie wagi są odwrotnościami kwadratów odległości danego punktu o wskaźniku j (w zbiorze wszystkich punktów transformowanych) od punktu dostosowania o wskaźniku i (w zbiorze punktów dostosowania). Ilustruje to rys. 4. Długości d_ij obliczamy na podstawie współrzędnych pierwotnych. Wielkości poprawek (14) dodajemy do współrzędnych po transformacji, czyli do współrzędnych wyznaczonych przy pomocy wzorów (10).

Na koniec podamy pewną interpretację fizyczną korekty Hausbrandta dla przypadku wpasowywania się w istniejące współrzędne archiwalne lub w przekształceniu odwrotnym. Wyobraźmy sobie, że płaski układ, który określamy jako empiryczny jest „sztywny”, natomiast układ matematyczny - „elastyczny”. Poprzez lokalne rozciągania i kurczenia układu elastycznego (przy zachowaniu jego płaskości) doprowadzamy do wzajemnego pokrycia się punktów łącznych obu układów. W efekcie wszystkie punkty układu elastycznego otrzymują przesunięcia mierzone wielkościami (14). Analogiczna interpretacja będzie dotyczyć przekształcenia odwrotnego (wówczas sztywnym będzie na przykład układ „1992” lub „2000”, zaś elastycznym - odpowiednie przekształcenie empirycznego układu „1965”).