Przegląd odwzorowań

Krystyna Podlacha

Przy omawianiu odwzorowań kartograficznych – wykorzystywanych m.in. w systemach informacji przestrzennej SIP (czy szerzej: w systemach informacji geograficznej GIS) – uwzględnić należy cechy charakterystyczne map opracowanych w tych odwzorowaniach. Warto także wskazać trudności, które mogą występować przy równoległym lub wymiennym wykorzystywaniu w SIP map tworzonych na odmiennych podstawach matematycznych.


Różnorodność odwzorowań kartograficznych

W Polsce po drugiej wojnie światowej czyniono starania zmierzające do dostarczenia gospodarce narodowej map, niezbędnych do działań administracyjnych, gospodarczych, planistycznych oraz do celów naukowo-badawczych itp. Niestety, obowiązujące w tych latach przepisy o ochronie tajemnicy państwowej i służbowej negatywnie zaciążyły na jednolitości osnowy matematycznej tych map. Próby ominięcia tych przepisów spowodowały, że obecnie na rynku krajowym funkcjonuje kilka „mutacji” mapy zasadniczej i map topograficznych o odmiennych podstawach matematycznych. Różnią je zastosowane do ich opracowania odwzorowania kartograficzne, układy współrzędnych płaskich prostokątnych, a także podziały arkuszowe. Zróżnicowania te mogą być źródłem błędów przy wykorzystaniu powyższych map do tworzenia baz danych w systemach informacji przestrzennej oraz mogą utrudniać ich wykorzystanie jako kartograficznego materiału podkładowego do sporządzania komputerowych map tematycznych o zasięgu regionalnym lub krajowym.
Do tych układów współrzędnych i odwzorowań kartograficznych należą:

• układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1965,
• układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1942 – odwzorowanie Gaussa-Krügera,
• układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1992 – odwzorowanie Gaussa-Krügera w pasie 10-stopniowym,
• układ współrzędnych płaskich prostokątnych 2000 – odwzorowanie Gaussa-Krügera w pasach 3-stopniowych,
• układy lokalne.

Mapy sporządzone w tych układach są dostępne na rynku krajowym i można je swobodnie wykorzystywać do celów praktycznych i naukowych.


Parametry obowiązującego w Polsce geodezyjnego układu odniesienia

Rozwój metod i techniki pozyskiwania danych astronomicznych, geodezyjnych i geofizycznych oraz współczesne osiągnięcia w dziedzinie numerycznych metod opracowania tych danych stworzyły podstawę do poprawienia teorii ruchu i figury Ziemi oraz rewizji fundamentalnych systemów odniesienia. Na podstawie dopplerowskich pomiarów satelitarnych, a następnie GPS (Global Positioning System), stworzone zostały nowe możliwości dla wprowadzenia wysoko dokładnej metody określania punktów dla potrzeb geodezyjnych. Podjęto prace zmierzające do utworzenia geocentrycznego, globalnego systemu odniesienia zwanego ITRS (International Terrestrial Reference System) opartego na pomiarach w wybranych stacjach światowych.
Wskutek ruchu płyt kontynentalnych położenie stacji światowych nie jest stałe – wraz z ruchem płyt kontynentalnych stacje te przemieszczają się i położenie ich ulega zmianie. Dlatego też przy zakładaniu ITRS pomiary tych punktów odniesione zostały do epoki 1989, a system nazwano ITRS-89. ITRS-89 stał się podstawą do utworzenia europejskiego systemu odniesienia ETRS-89 (European Reference System 1989). Na podstawie ETRS-89 opracowany został ETRF-89 (European Terrestrial Reference Frame 89), znany też pod nazwą EUREF-89.
W roku 1987 JAG oraz Komisja VIII CERCO (Comite Europeen de Responsables de la Cartographic Officielle) powołały specjalną komisję i grupę roboczą, które w ścisłej współpracy podjęły badania i rozwinęły prace organizacyjne nad nowym Europejskim Systemem Odniesienia – ETRS (European Terrestrial System). W pierwszej kolejności kampaniami pomiarowymi (1988 r.) objęto kraje Europy Zachodniej. Wyniki pomiarów poddane zostały wstępnej obróbce, a następnie obliczono całą sieć i ustalono ostateczny wykaz współrzędnych ETRF-89. ETRF-89 wyrażony jest w układzie współrzędnych geograficznych geodezyjnych. W roku 1990 sieć ETRF została rozbudowana w kierunku północnym poprzez włączenie Islandii i Spitsbergenu oraz w kierunku południowym poprzez włączenie Turcji.
W marcu 1992 r. podkomisja EUREF na sympozjum w Bernie zaakceptowała stosowanie w ETRS-89 elipsoidy GRS 80 (Geodetic Reference System 1980). W tym też roku w lipcu – w wyniku międzynarodowych pomiarów satelitarnych GPS – do ETRS-89 włączono 11 punktów na terenie Polski, a także 5 punktów na terenie b. Czechosłowacji, 4 punkty na terenie Węgier i 11 punktów na terenie b. NRD. W następnych latach w Polsce przeprowadzono dalsze terenowe prace pomiarowe oraz obliczenia danych dotyczących nowych punktów podstawowej i szczegółowej osnowy geodezyjnej kraju w celu określenia tych punktów we współrzędnych geograficznych geodezyjnych jednolitego europejskiego układu.
Europejski System Odniesienia charakteryzują następujące parametry:

• równikowy promień Ziemi a = 6 378 137 m,
• ziemska stała grawitacyjna (łącznie z atmosferą) GM = 3986005 x 10⁸ m³ s^-2,
• współczynnik dynamiczny kształtu Ziemi (bez uwzględnienia stałej deformacji pływowej) J₂ = 108263 x 10^–8,
• spłaszczenie geometryczne f = 1/298,257222101,
• prędkość obrotu Ziemi w = 7292115 x 10^–11rad×s^–1.

Elipsoidę GRS 80 stosowaną w ETRS charakteryzują następujące elementy:

• półoś równikowa a = 6378137 m,
• półoś biegunowa b = 6 356 752,3141,
• kwadrat mimośrodu e² = 0,006 694 380 022 90,
  
• kwadrat drugiego mimośrodu e’² = 0,006 739 496 775 48,
  
• trzecie spłaszczenie n = 0,001 679 220 394 63,
  
• długość łuku południka od równika do bieguna Q = 10 001 965,7293 m.

Układ współrzędnych 1965

Układ współrzędnych 1965 wprowadzony został do opracowań kartograficznych przeznaczonych dla potrzeb gospodarczych w roku 1968. Decyzja Prezydium Rządu z 1970 r. zobowiązywała do wymiany map wykonanych uprzednio w innych odwzorowaniach i układach współrzędnych na mapy w układzie 1965 oraz wykonanie dla całego obszaru kraju prac kartograficznych umożliwiających udostępnienie map użytkownikom.
W układzie współrzędnych 1965 sporządzone są:

• wielkoskalowe mapy, znane pod nazwą „mapy zasadniczej”, opracowywane w skalach 1:500, 1:1000, 1:2000 i 1:5000,
• mapy topograficzne w skalach 1:10 000, 1:25 000 i 1:50 000.

Układ ten posiada 5 stref odwzorowawczych, przy czym:

• dla czterech stref odwzorowawczych przyjęto odwzorowanie quasi-stereograficzne (płaszczyznowe ukośne, wiernokątne), strefa 1 obejmuje południowo-wschodnią część Polski; strefa 2 – część północno-wschodnią; strefa 3 – część północno-zachodnią; strefa 4 – część południowo-zachodnią;
• dla strefy 5 przyjęto odwzorowanie Gaussa-Krügera z 3-stopniowym pasem odwzorowawczym, obejmuje ona byłe województwo katowickie w granicach sprzed reformy 1975.

Dane potrzebne do zdefiniowania odwzorowania stosowanego w każdej z 5 stref odwzorowawczych państwowego układu współrzędnych płaskich 1965 podano w tabeli 1.

Tabela 1. Dane potrzebne do zdefiniowania odwzorowania stosowanego w strefach odwzorowawczych układu współrzędnych 1965

Każda strefa odwzorowawcza ma własny początek układu współrzędnych. Układy współrzędnych są wzajemnie przesunięte i skręcone. W czterech strefach odwzorowawczych (1, 2, 3, 4) rzutowania dokonano na płaszczyznę sieczną, dlatego też zniekształcenia odwzorowawcze rozkładają się wzdłuż okręgów koncentrycznych do punktu głównego i mają wartości dodatnie i ujemne od 0 do 25 cm na 1 km. W strefie 5 rzutowania dokonano na pobocznicę walca siecznego, zatem zniekształcenia zerowe występują wzdłuż dwóch południków. Między tymi południkami zniekształcenia przybierają wartości ujemne, na zewnątrz nich zaś dodatnie.
Mapy opracowane w państwowym układzie współrzędnych 1965 nie posiadają siatki kartograficznej. Sporządzone są one w prostokątnym podziale arkuszowym. Linie siatki współrzędnych płaskich prostokątnych prowadzone w odstępach:

• dla mapy zasadniczej: Δy = 80 cm, Δx = 50 cm,
• dla map topograficznych w skali 1:10 000: Δy = 80 cm, Δx = 50 cm,
• dla map topograficznych w skali 1:25 000 i 1:50 000: Δy = 64 cm, Δx = 40 cm,

dzielą każdą strefę układu 1965 na tak zwane sekcje podziałowe. Linie podziałowe wyznaczające sekcje map są równoległe do osi x i osi y układu współrzędnych płaskich prostokątnych danej strefy. Początek podziału map na sekcje prostokątne pokrywa się z początkiem układu współrzędnych płaskich prostokątnych, przechodzącym przez punkt główny danej strefy odwzorowawczej.
Podstawę podziału na sekcje i systemu oznaczenia arkuszy mapy zasadniczej w skalach 1:5000, 1:2000, 1:1000 i 1:500 jest sekcja wielkoskalowej mapy topograficznej w skali 1:10 000. Podstawą podziału na sekcje i systemu oznaczenia arkuszy map topograficznych w skalach 1:50 000, 1:25 000 i 1:10 000 jest sekcja mapy w skali 1:100 000 o zasięgu Δy = 64 cm i Δx = 40 cm.
Podstawowym mankamentem układu współrzędnych 1965 jest brak możliwości sporządzania jednolitych i pełnowartościowych map obszaru całego kraju. Wynika to z faktu, że poza granicami stref odwzorowawczych błędy odwzorowawcze szybko rosną, a poza tym wzajemne skręcenie i przesunięcie układów uniemożliwia tworzenie jednolitych map obszaru całej Polski. Dla obszarów znajdujących się na styku dwóch lub trzech stref odwzorowawczych zachodzi nawet konieczność dublowania arkuszy. Na skutek tego w układzie współrzędnych 1965 około 30% arkuszy map położonych na styku stref podlega dwu-, a czasem trzykrotnemu niezależnemu opracowaniu. Ponadto brak siatki kartograficznej na mapach sporządzonych w układzie współrzędnych płaskich prostokątnych 1965 powoduje, że w ramach poszczególnych stref odwzorowawczych można budować tylko cząstkowe (ograniczone do jednej strefy) bazy danych systemów informacji przestrzennej, opartych w dodatku na siatce kilometrowej układu współrzędnych danej strefy. Będą to jednak układy o charakterze lokalnym, bez możliwości transformowania (z uwagi na zniekształcenia odwzorowawcze) informacji zawartych w bazie danych SIP założonego dla danej strefy odwzorowawczej do strefy sąsiedniej, a tym samym uniemożliwiające utworzenie wspólnej bazy danych obszaru całego kraju. To samo dotyczy baz danych SIP obejmujących regiony większe od jednej strefy odwzorowawczej.
Wzajemne wykorzystanie baz danych SIP założonych w ramach poszczególnych stref układu współrzędnych 1965 jest możliwe tylko po uprzedniej transformacji tych danych do jednolitego układu współrzędnych np. układu współrzędnych 1992.

Rys. 1. Zniekształcenia odwzorowawcze stref układu 1965,
źródło: Instrukcja O-1/O-2 z 2001 r.

Układ współrzędnych 1942

Państwowy układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1942 został wprowadzony do praktyki geodezyjnej i kartograficznej na podstawie uchwały Prezydium Rządu w 1953 r. w sprawie założenia jednolitej państwowej sieci geodezyjnej i opracowania mapy podstawowej państwa. Uchwała ta zobowiązywała do opracowania i wydania mapy topograficznej w skali 1:25 000 (która została wykonana dla całego kraju w ciągu 6 lat). Kolejna uchwała Prezydium Rządu podjęta w 1955 r. zobowiązywała do opracowania mapy topograficznej w skali 1:10 000. Pierwsze mapy topograficzne dla potrzeb obronnych i gospodarczych opracowane były na podstawie wspólnych instrukcji i sporządzane w jednolitych układach współrzędnych. Z chwilą wprowadzenia układu 1965 układ 1942 zarezerwowany został do opracowania map topograficznych dla celów obronnych.
W państwowym układzie współrzędnych płaskich prostokątnych 1942 opracowane zostały mapy topograficzne w skalach 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000, 1:200 000 i 1:500 000. Mapy te sporządzone są w odwzorowaniu Gaussa-Krügera w 6-stopniowych pasach odwzorowawczych (elipsoida Krasowskiego, punkt przyłożenia Pułkowo, orientacja na Bugry). Jest to równokątne poprzeczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej na pobocznice walca, przy czym środkowy południk obszaru, zwany tez południkiem osiowym, odtwarza się wiernie.
Obszar Polski obejmują trzy pasy odwzorowawcze. Mapy topograficzne sporządzone w układzie współrzędnych płaskich prostokątnych 1942 mają siatkę kartograficzną i siatkę kilometrową. Siatka kilometrowa jest utworzona przez linie proste równoległe do osi x i osi y układu współrzędnych płaskich prostokątnych danego pasa odwzorowawczego. Arkusze map topograficznych są sporządzane w podziale na sekcje trapezowo-elipsoidalne, przy czym linie podziału pokrywają się z obrazami równoleżników i południków. Formaty arkuszy wynoszą odpowiednio dla map w skali:

• 1:25 000: Δf=5’, Δl=7,5’
• 1:50 000: Δf=10’, Δl=15’
• 1:100 000: Δf=20’, Δl=30’
• 1:200 000: Δf=40’, Δl=1°
• 1:500 000: Δf=2°, Δl=3°

Punktem wyjścia do podziału na arkusze map jest Międzynarodowa Mapa Świata w skali 1:1 000 000. Mapy topograficzne sporządzone w układzie 1942 jeszcze do niedawna były jedynymi polskimi mapami, które nie zostały celowo skażone, jak uczyniono to np. w układzie 1965 przez wprowadzenie pięciu różnych, niespójnych stref odwzorowawczych.


Układ współrzędnych 1992

Układ współrzędnych płaskich prostokątnych 1992 oparty jest na współrzędnych geograficznych geodezyjnych w układzie EUREF-89 (European Reference Frame 1989), występującym również pod nazwą ETRF-89 (European Terrestrial Reference Frame 1989). Współrzędne płaskie prostokątne x, y dla obszaru Polski są obliczane w odwzorowaniu kartograficznym Gaussa-Krügera, w pasie 10-stopniowym przy południku osiowym L₀=19° i przy współczynniku skali na południku osiowym m = 0,9993. Początkiem układu 1992 jest punkt przecięcia się obrazu południka osiowego L₀=19° z obrazem równika, przy czym przy określaniu ostatecznych współrzędnych: od współrzędnej x odejmuje się 5 300 000 m, a do współrzędnej y dodaje się 500 000 m.

Rys. 2. Zasady podziału i oznaczenia arkuszy map topograficznych w układzie 1992

Tabela. 2. Orientacyjne wymiary i powierzchnie arkuszy map topograficznych w układzie 1992. Uwaga: Wymiary arkuszy map topograficznych wzdłuż szerokości i długości oraz ich powierzchnie odnoszą się do wszystkich arkuszy wypadających w tym samym pasie, co arkusze podane w przykładzie godła. Wymiary i powierzchnie arkuszy maleją ku północy, natomiast zwiększają się ku południu.

Linie stałych zniekształceń odwzorowawczych w 10-stopniowej strefie odwzorowawczej Gaussa-Krügera układają się równolegle do południka osiowego. W celu bardziej równomiernego rozkładu zniekształceń odwzorowawczych i znacznego zmniejszenia ich wartości przyjęto współczynnik kurczenia południka osiowego w odwzorowaniu Gaussa-Krügera m₀ = 0,9993. W związku z powyższym zniekształcenia odwzorowawcze mają wartości dodatnie i ujemne od –70 cm na 1 km wzdłuż południka osiowego 19° do +60 cm na 1 km na zachodzie i –90 cm na 1 km na wschodzie Polski.

Układ współrzędnych 2000

Układ współrzędnych płaskich prostokątnych 2000 został wprowadzony rozporządzeniem Rady Ministrów z 8 sierpnia 2000 roku, opublikowanym w DzU z 24 sierpnia 2000 r. Wszedł w życie z dniem ogłoszenia. Kataster, mapa zasadnicza i w ogólności systemy informacji o terenie funkcjonować będą w układzie współrzędnych płaskich prostokątnych 2000. Współrzędne te są obliczone w odwzorowaniu Gaussa-Krügera w 3-stopniowych pasach odwzorowawczych o południkach osiowych 15°, 18°, 21° i 24°, ponumerowanych odpowiednio: 5, 6, 7 i 8; przy współczynniku zmiany skali w południku osiowym równym 0,999923.
Początkiem układu współrzędnych w danym pasie odwzorowania jest punkt przecięcia się obrazu południka osiowego z obrazem równika. Przy określaniu współrzędnych: współrzędna x pozostaje niezmieniona, a do współrzędnej y w zależności od południka osiowego dodaje się:

• 5 500 000 m przy południku L₀=15°,
• 6 500 000 m przy południku L₀=18°,
• 7 500 000 m przy południku L₀=21°,
• 8 500 000 m przy południku L₀=24°.

Rys. 3. Podział obszaru kraju na cztery 3-stopniowe pasy odwzorowania Gaussa-Krügera, źródło: Instrukcja O-1/O-2 z 2001 r.

Podstawą do określania formatów i numeracji arkuszy mapy zasadniczej w skalach 1:5000, 1:2000, 1:1000, 1:500 w podziale arkuszowym prostokątnym jest arkusz mapy 1:10 000 o wymiarach 5 km na 8 km.
Godło arkusza mapy w skali 1:10 000 tworzy grupa trzech liczb A B C, gdzie:

A jest liczbą jednocyfrową oznaczającą numer południka osiowego pasa odwzorowania (5, 6, 7 lub 8), określaną w myśl formuły:
A = L₀/3
gdzie: L₀ – południk osiowy danego pasa (15°, 18°, 21° lub 24°).

B jest liczbą trzycyfrową, obliczoną jako liczba całkowita:

gdzie: x₁ – współrzędna x dowolnego punktu z obszaru odwzorowania danego arkusza 1:10 000 wyrażona w kilometrach od równika.

C – jest liczbą dwucyfrową, obliczoną jako liczba całkowita:

gdzie: y₁ – współrzędna y dowolnego punktu z obszaru odwzorowania danego arkusza 1:10 000 wyrażona w kilometrach bez początkowej cyfry oznaczającej numer pasa odwzorowawczego.

Godłem arkusza mapy zasadniczej w skali 1:5000, 1:2000, 1:1000 i 1:500 jest godło danego arkusza w skali 1:10 000 uzupełnione cechą wynikającą z podziału:

• arkusza mapy w skali 1:10 000 na 4 arkusze mapy w skali 1:5000 oznaczone cyframi 1, 2, 3, 4;
• arkusza mapy w skali 1:10 000 na 25 arkuszy mapy w skali 1:2 000 oznaczone cyframi 01, 02, 03, 04, 05, ..., 25;
• arkusza mapy w skali 1:2 000 na 4 arkusze mapy w skali 1:1000 oznaczone cyframi 1, 2, 3, 4;
• arkusza mapy w skali 1:1000 na 4 arkusze mapy w skali 1:500 oznaczone cyframi 1, 2, 3, 4.

Tabela. 3. Wymiary i pola powierzchni arkuszy mapy zasadniczej w poszczególnych skalach w układzie 2000

Układy lokalne

Funkcjonujące w Polsce wielkoskalowe mapy wielu miast (m.in. mapa zasadnicza m.st. Warszawy) opracowane są w lokalnych układach współrzędnych. Ocenia się ich liczbę na około 150. Z punktu widzenia możliwości transformacji do krajowego układu współrzędnych istniejące w Polsce układy lokalne można podzielić na następujące cztery grupy:

• układy lokalne posiadające wszystkie dane niezbędne do transformacji do jednolitego krajowego układu współrzędnych,
• układy lokalne o rozpoznanych parametrach technicznych, posiadające jednoznacznie określone punkty łączne niezbędne do transformacji do jednolitego układu współrzędnych,
• układy lokalne o ograniczonych możliwościach transformacji na jednolity układ współrzędnych geodezyjnych ze względu na brak możliwości prostego opracowania prawidłowych formuł przeliczania współrzędnych układu lokalnego do układu krajowego (braki w dokumentacji),
• układy lokalne nie nadające się do transformacji do krajowego układu współrzędnych.

Z analizy układów lokalnych wynika, że do oceny możliwości transformacji nie można stosować prostych uogólnień. Każdy układ lokalny musi być oddzielnie badany i oceniany. W badaniach tych należy uwzględniać następujące czynniki:

• parametry elipsoidy (nazwę elipsoidy), punkt główny i orientację (azymut),
• przyjęty południk osiowy i jego współczynnik skali (np. z uwagi na średnią wysokość terenu lub zmniejszenie bezwzględnej wartości zniekształceń odwzorowawczych),
• początek układu współrzędnych (X₀, Y₀),
• współrzędne punktów fizycznie tożsamych sieci głównej układu lokalnego i układu państwowego,
• przesunięcie i skręt układu państwowego (jeżeli w ten sposób powstał układ lokalny), a także dane dotyczące wyrównania sieci itp.

Zebrane w różnych ośrodkach terenowych informacje i dane geodezyjne należy porównać z danymi znajdującymi się w Centralnym Ośrodku Dokumentacji Geodezyjnej i Kartograficznej. Dane te powinny stanowić podstawę do ewentualnego zakwalifikowania danego układu lokalnego do przeliczenia go do krajowego układu współrzędnych.

Prof. dr hab. inż. Krystyna Podlacha była profesorem Instytutu Geodezji i Kartografii oraz wieloletnim kierownikiem Zakładu Kartografii

(Opracowanie zamieszczono na Geoforum w sierpniu 2006 r. Więcej informacji na temat przeliczania układów w zakładce Geodezja/Transformacje)