powrót

Robert Olszewski

Fraktale

Geometria językiem natury

W 1610 roku Galileusz stwierdził, iż językiem natury jest geometria, a jej alfabetem są trójkąty, koła i inne figury geometryczne. Jednak wiele kształtów występujących w przyrodzie, takich jak chmury, linie brzegowe czy łańcuchy górskie, jest zbyt złożonych, by je móc opisać językiem klasycznej geometrii euklidesowej. Z obserwacji zjawisk naturalnych (np. sieci hydrograficznej lub rafy koralowej) wynika, iż wielkoskalowe struktury złożone są z mniejszych komponentów wykazujących podobieństwo formy i budowy. Struktury te, nie poddające się opisowi w postaci formuł algebraicznych, przez długi czas określano jako geometrycznie „bezkształtne”. Podobnie traktowano złożone matematyczne konstrukcje geometryczne, nieredukowalne do zbioru prostych figur typu okrąg czy kwadrat.

Proste, euklidesowe kształty tracą przy powiększaniu swoją strukturę. Okrąg obserwowany w odpowiednio dużym powiększeniu coraz bardziej przypomina pozbawioną krzywizny linię prostą. Istnieją jednak kształty wykazujące złożoność struktury niezależnie od powiększenia. Benoit Mandelbrot nazwał je fraktalami. Spójrzmy na przedstawiony na mapie kształt rozwiniętej linii brzegowej (rys. 1). Jeśli dla dowolnego fragmentu wybrzeża dysponujemy mapą w większej skali możemy dostrzec podobny rozkład zatok i cypli. W każdej zatoce występują mniejsze zatoki i cyple, a w tych zatokach jeszcze mniejsze itd. Na każdym poziomie obserwacji odsłaniają się nowe szczegóły o strukturze i kształcie podobnym do obrazu całego wybrzeża. Matematyczną figurą o podobnych, choć ściśle deterministycznych własnościach, jest krzywa Kocha, zwana potocznie „śnieżynką”. Rekurencyjny opis jej tworzenia i niezwykłe własności podał w 1904 roku właśnie szwedzki matematyk Helge von Koch. Za obiekt początkowy przyjmijmy odcinek jednostkowy (rys. 2). Podzielmy go na trzy równe części, w miejsce środkowej wstawmy trójkąt równoboczny pozbawiony podstawy. Powstała figura występuje w pomniejszonych kopiach w kolejnych krokach rekurencyjnych. W każdym z nich stosujemy ten sam algorytm do każdego z powstałych odcinków. Ostateczny kształt linii (po wykonaniu nieskończonej liczby iteracji) nie zawiera żadnych prostych odcinków. Krzywa Kocha ma nieskończoną długość!

Pełna treść artykułu w lipcowym wydaniu GEODETY

powrót