|
Jerzy Balcerzak, Paweł Pędzich
Kartografia matematyczna jest działem kartografii zajmującym się opracowaniem podstaw matematycznych odwzorowań powierzchni Ziemi na mapach oraz podstawami matematycznymi wykonywania pomiarów na mapach. Jej tradycje sięgają kilku tysięcy lat. Jednym z pierwszych znanych dzieł, w którym podejmowano tematykę odwzorowań kartograficznych, była Geografia Klaudiusza Ptolomeusza, astronoma i geografa, żyjącego w II wieku w Aleksandrii. W pierwszym tomie dzieła Ptolemeusz wyłożył ówczesne podstawy kartografii matematycznej.
Różne kryteria odwzorowań kartograficznych
Problemem wiernego odwzorowania powierzchni Ziemi na płaszczyźnie zajmowali się najwybitniejsi matematycy, m.in. Euler, Lagrange, Gauss, Czebyszew. Przez wiele lat największym wyzwaniem podejmowanym przez kartografów-matematyków było poszukiwanie odwzorowań charakteryzujących się w miarę możliwości najmniejszymi zniekształceniami.
Jednak minimalne zniekształcenia nie są jedynym kryterium przy doborze odwzorowań kartograficznych. Często ważniejszym kryterium jest przeznaczenie i wygoda użytkowania mapy. Na przykład do tworzenia map nawigacyjnych od XVI wieku po dzień dzisiejszy stosuje się odwzorowanie Mercatora. W odwzorowaniu tym linia przecinająca południki na powierzchni kuli pod stałym kątem (loksodroma) odwzorowuje się na linię prostą. Ułatwia to znakomicie prowadzenie nawigacji. Z kolei w geodezji i topografii oczekuje się zachowania kątów, stąd zastosowanie mają odwzorowania konforemne – Gaussa-Krügera, UTM.
Pojęcie powierzchni odniesienia w kartografii
W kartografii matematycznej za powierzchnię odniesienia przyjmuje się elipsoidę lub sferę. Są to tak zwane powierzchnie oryginału w odwzorowaniach kartograficznych, które w procesie matematycznego przyporządkowania odwzorowuje się na płaszczyznę w celu opracowania mapy. Sfera jako powierzchnia oryginału stosowana jest do opracowania map małoskalowych (np. zamieszczanych w atlasach geograficznych), natomiast elipsoida – do map wielko- i średnioskalowych (np. mapa zasadnicza, mapy topograficzne).
Elipsoida odniesienia wyznaczana jest na podstawie pomiarów geodezyjnych, grawimetrycznych i satelitarnych. Pozwalają one określić parametry opisujące kształt i wielkość elipsoidy oraz ustalić jej orientację względem bryły Ziemi. Wraz z rozwojem technologii pomiarowych pojawiały się elipsoidy lokalne (m.in. Bessela, Hayforda, Krasowskiego), a następnie globalne (GRS’80, WGS’84).
Obecnie do opracowania map stosuje się dwie elipsoidy wchodzące w skład dwóch niewiele różniących się układów odniesienia: WGS’84 oraz GRS’80. Parametry metryczne określające kształt i wielkość tych elipsoid praktycznie nie różnią się między sobą.
Na powierzchniach odniesienia wprowadza się układy współrzędnych, które pozwalają jednoznacznie określić położenie punktu. Najstarszym ze znanych układów współrzędnych jest układ współrzędnych geograficznych j, l stosowany na sferze. Położenie punktu na jej powierzchni określa się za pomocą pary współrzędnych: szerokości geograficznej j i długości geograficznej l. Na elipsoidzie natomiast stosuje się układ współrzędnych geodezyjnych B, L, w którym położenie punktu określa się za pomocą szerokości geodezyjnej B i długości geodezyjnej L.
Do określania współrzędnych punktu na elipsoidzie oraz kuli stosuje się także ortokartezjańskie układy współrzędnych prostokątnych. Początek takiego układu znajduje się w środku elipsoidy lub kuli, oś z pokrywa się z osią obrotu elipsoidy, oś x leży w płaszczyźnie wybranego południka początkowego, a oś y jest ortogonalna do osi x i z, tworząc prawoskrętny układ oxyz.
Odwzorowanie kartograficzne
Odwzorowaniem kartograficznym jest wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie punktów powierzchni oryginału (elipsoidy lub sfery) punktom płaszczyzny obrazu, w której tworzona jest mapa. Odwzorowanie definiuje się za pomocą funkcji matematycznych wyrażających wzajemną zależność pomiędzy współrzędnymi powierzchni oryginału a współrzędnymi prostokątnymi płaskimi mapy. Odwzorowanie sfery w płaszczyznę możemy zapisać ogólnie w następującej postaci:
x = x(j, l)
y = y(j, l),
natomiast elipsoidy w płaszczyznę:
x = x(B,L)
y = y(B,L).
| 
