wiadomościksięgarniaprenumeratareklamakontaktRODOpolityka prywatności
Najnowsze wydarzenia z dziedziny geodezji, nawigacji satelitarnej, GIS, katastru, teledetekcji, kartografii. Nowości rynkowe, technologiczne, prawne, wydawnicze. Konferencje, targi, administracja.
reklama
strona główna rss
PRENUMERATA TRADYCYJNAPRENUMERATA CYFROWA
film
Wapno - krajobraz po katastrofie
blog
NAWI

NAWI
NIWELATORY

NIWELATORY
TACHIMETRY

TACHIMETRY
SKANOWANIE LASEROWE

SKANOWANIE LASEROWE
DRONY DLA GEODETY

DRONY DLA GEODETY
BENTLEY GEOMAGAZYN

BENTLEY GEOMAGAZYN


reklama
reklama

Kartografia matematyczna

- «« « część 4 z 4


Metody tworzenia odwzorowań kartograficznych

Metody tworzenia odwzorowań kartograficznych możemy podzielić na trzy główne grupy:
Konstrukcyjne – odwzorowanie jest realizowane z wykorzystaniem zasad rzutowania powierzchni oryginału na płaszczyznę, pobocznicę walca lub stożka. Wśród nich wyróżnia się trzy podstawowe rzuty: ortograficzny, stereograficzny i środkowy.
Analityczne – polegają na analitycznym rozwiązywaniu stosownych układów równań różniczkowych. Podajemy wówczas ogólne warunki, które ma spełniać odwzorowanie, np. odwzorowanie ma być równokątne i walcowe. Na tej podstawie układamy odpowiednie równanie różniczkowe. Po jego rozwiązaniu w następnym kroku wyznaczamy pewne stałe na podstawie warunków szczegółowych, np. żądania, aby dany równoleżnik odwzorował się izometrycznie.
Numeryczne – często odwzorowania kartograficzne otrzymujemy w wyniku rozwinięcia funkcji odwzorowawczych na szeregi potęgowe lub trygonometryczne, lub stosując odpowiednie wielomiany aproksymacyjne.


Minimalizacja zniekształceń w odwzorowaniach kartograficznych

Przez wiele lat największym wyzwaniem podejmowanym przez kartografów-matematyków było poszukiwanie odwzorowań o jak najmniejszych zniekształceniach. Posługiwano się różnymi kryteriami pozwalającymi na minimalizację zniekształceń odwzorowawczych. Można wspomnieć tutaj takie kryteria, jak: Jordana, Tissota, Airy i Czebyszewa. Wśród nich na uwagę zasługuje szczególnie ostatnie z wymienionych. Czebyszew sformułował twierdzenie, że najmniejsze zniekształcenia odwzorowawcze uzyskamy w odwzorowaniu danego obszaru, przyjmując na jego brzegu stałą skalę zniekształceń długości. Twierdzenie to zostało udowodnione w odniesieniu do odwzorowań konforemnych w kilkadziesiąt lat po śmierci Czebyszewa. Natomiast zagadnienie minimalizacji zniekształceń w odwzorowaniach innego typu, np. wiernopolowych, pozostaje nadal otwarte.
Siatkę kartograficzną oraz izolinie zniekształceń długości w odwzorowaniu Czebyszewa obszaru Polski przedstawia rys. 6.


Rys. 6. Odwzorowanie Czebyszewa obszaru Polski

Z rysunku widać, że maksymalna różnica zniekształceń liniowych w odwzorowaniu wiernokątnym obszaru Polski wynosi około 72 cm/km. Z twierdzenia Czebyszewa oraz przedstawionych wyników obliczeń wynika, że uzyskanie znacznego zmniejszenia zniekształceń odwzorowawczych w jednolitym odwzorowaniu Polski będzie mało prawdopodobne.

Odwzorowanie Gaussa-Krügera oraz Uniwersalne Poprzeczne Mercatora (UTM – Universal Transverse Mercator)

Wiernokątne odwzorowanie elipsoidy, które w późniejszych czasach zyskało nazwę Gaussa-Krügera, zostało opracowane przez matematyka niemieckiego Carla Friedricha Gaussa i użyte przez niego w latach 1820-30 do obliczenia wyników triangulacji Hanoweru. Na podstawie notatek i rękopisów Gaussa geodeta niemiecki Louis Krüger gruntownie dopracował metodę tego odwzorowania i opublikował w roku 1912. Stąd wzięła się nazwa odwzorowanie Gaussa-Krügera.
Jest to odwzorowanie konforemne powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę spełniające dwa warunki:
1. południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej osi rzędnych x,
2. elementarna skala zniekształceń długości na południku osiowym jest stała i równa jedności, tzn., że południk osiowy odwzorowuje się bez zniekształceń (izometrycznie).
Często w literaturze podawana jest interpretacja geometryczna tego odwzorowania, zgodnie z którą jest to wiernokątne, walcowe, styczne, poprzeczne odwzorowanie elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę.
Zaproponowane w latach II wojny światowej w Ameryce odwzorowanie UTM stanowi pewną modyfikację odwzorowania Gaussa-Krügera. UTM jest także odwzorowaniem konforemnym elipsoidy w płaszczyznę z południkiem osiowym odwzorowującym się na odcinek linii prostej ze stałą skalą zniekształceń długości, lecz wartość tej skali jest mniejsza od jedności i równa m0=0,9996. Zależność pomiędzy współrzędnymi w odwzorowaniu Gaussa-Krügera a współrzędnymi w odwzorowaniu UTM zgodnie z powyższym przedstawiają wzory:

  xUTM = m0 × xGK

  yUTM = m0 × yGK.

Odwzorowanie UTM stosowane jest do 6-stopniowych stref południkowych pomiędzy równoleżnikami -80° do +80°.
Odwzorowania Gaussa-Krügera i UTM – ze względu na duże zniekształcenia długości – stosowane są w kilkustopniowych pasach południkowych. Odwzorowania te są obecnie powszechnie stosowane w geodezji i topografii. W Polsce do tworzenia map topograficznych w układzie 1992 i UTM oraz mapy zasadniczej w układzie 2000.


Odwzorowanie quasi-stereograficzne

Metodę tworzenia odwzorowania stereograficznego dla elipsoidy podał w 1924 roku astronom francuski Roussilhe. Adaptując to odwzorowanie do obszaru Polski, profesor dr Lucjan Grabowski z Politechniki Lwowskiej zaproponował stosowne wzory matematyczne. W 1930 roku F. Biernacki i J. Słomczyński (oficerowie ówczesnego Wojskowego Instytutu Geograficznego) zastosowali to odwzorowanie w pracach geodezyjnych i kartograficznych obszaru Polski. Po II wojnie światowej znalazło zastosowanie przede wszystkim do tworzenia map topograficznych i zasadniczych w układzie 1965 (strefy odwzorowawcze 1-4) oraz map topograficznych w układzie GUGiK 80.Odwzorowanie quasi-stereograficzne jest odwzorowaniem konforemnym, azymutalnym powierzchni elipsoidy obrotowej spłaszczonej w płaszczyznę. W ograniczonym obszarze odpowiada ono stereograficznemu odwzorowaniu kuli o promieniu 
    
wyznaczonym w punkcie głównym odwzorowania, tj. punkcie styczności płaszczyzny odwzorowania do elipsoidy.
Prace teoretyczne nad własnościami odwzorowania Roussilhe’a wykazały, że może być ono powiązane z odwzorowaniem Gaussa-Krügera. Otrzymano prostą pojęciowo i sprawną numerycznie metodę bez konieczności rozwijania na szeregi. Metoda ta pozwala ponadto na odwzorowanie dowolnie dużego obszaru z całą elipsoidą włącznie.


Odwzorowanie Mercatora

Twórcą tego odwzorowania był kartograf i matematyk Gerhard Kremer, znany powszechnie jako Mercator. W 1569 roku sporządził mapę świata w odwzorowaniu równokątnym walcowym normalnym kuli w płaszczyznę. Odwzorowanie stosuje się w ograniczonym pasie równoleżnikowym, ponieważ bieguny N i S odwzorowują się w nieskończoności. Ważną własnością odwzorowania Mercatora jest fakt, że loksodroma (linia przecinająca południki pod stałym kątem) odwzorowuje się na prostą przecinającą obrazy południków pod stałym kątem. Ze względu prostotę i łatwość użytkowania odwzorowania Mercatora powszechnie stosowane jest do tworzenia map nawigacyjnych.


Układy współrzędnych prostokątnych płaskich stosowane w Polsce

Odwzorowania kartograficzne stanowią podstawę tworzenia różnych układów współrzędnych prostokątnych płaskich stosowanych w pracach geodezyjnych i kartograficznych. Układy te są wprowadzane w celu ujednolicenia urzędowych opracowań kartograficznych i geodezyjnych pod względem podstaw matematycznych. W Polsce na przestrzeni ostatnich pięćdziesięciu lat stosowano 6 państwowych układów współrzędnych: 1942, 1965, GUGiK80, 1992, 2000, UTM.

  • Układ 1942 został wprowadzony w 1953 r. Był przeznaczony do opracowań wojskowych. Wykonywano w nim prace geodezyjne i kartograficzne oraz wydawano wojskowe mapy topograficzne. Jego użytkowanie zakończono ok. roku 1990, ale do roku 1997 wydawano jeszcze mapy topograficzne. W układzie 1942 zastosowano odwzorowanie Gaussa-Krügera elipsoidy Krasowskiego. Układ stosowany był w dwóch wersjach: strefy 6-stopniowe (do opracowania map topograficznych), strefy 3-stopniowe (do map wielkoskalowych).
  • Układ 1965 wprowadzony w 1968 r. był przeznaczony do opracowań topograficznych i geodezyjnych. W układzie tym występuje podział na pięć stref odwzorowawczych, których zasięg oparty był na ówczesnym podziale administracyjnym kraju. W strefach o numerach 1-4 zastosowano odwzorowanie quasi-stereograficzne, natomiast w strefie piątej – odwzorowanie Gaussa-Krügera. Jako powierzchnię odniesienia przyjęto elipsoidę Krasowskiego.
  • Układ GUGiK 80 wprowadzony był w Polsce na początku lat 80. do opracowania map topograficznych w skalach mniejszych od 1:50 000. Układ ten nie był ujawniony na mapach. Mapy topograficzne posiadały siatkę kartograficzną, natomiast nie umieszczono na nich siatki kilometrowej. W układzie tym wykonano mapę topograficzną w skali 1:100 000 oraz mapę przeglądową w skali 1:500 000. Zastosowano odwzorowanie quasi-stereograficzne jednostrefowe dla całej Polski. Jako powierzchnię odniesienia przyjęto elipsoidę Krasowskiego (niektóre źródła podają elipsoidę Bessela).
  • Układ 1992 stosowano w Polsce od 1995 r. do opracowania cywilnych map topograficznych, choć oficjalnie został zatwierdzony ustawą dopiero w roku 2000. W układzie tym zastosowano odwzorowanie Gaussa-Krügera w jednej 10-stopniowej strefie odwzorowawczej. Przyjęto skalę zniekształceń długości na południku osiowym równą 0,9993, co daje w niektórych miejscach zniekształcenia długości równe -70 cm/km. Na wschodnich krańcach Polski występują maksymalne zniekształcenia równe +90 cm/km. Jako powierzchnię odniesienia zastosowano elipsoidę GRS80.
  • Układ 2000 zatwierdzony tą samą ustawą z roku 2000 co układ 1992 i przeznaczony do prac geodezyjnych. W układzie tym zastosowano odwzorowanie Gaussa-Krügera w pasach 3-stopniowych. Jako powierzchnię odniesienia przyjęto elipsoidę GRS 80.
  • Układ UTM jest układem współrzędnych prostokątnych płaskich wykorzystywanym do opracowań wojskowych. Zastosowano w nim odwzorowanie Gaussa-Krügera w pasach 6-stopniowych. Na południku osiowym przyjęto skalę zniekształceń długości równą 0,9996. Jako powierzchnię odniesienia przyjęto elipsoidę WGS84.

dr hab. Jerzy Balcerzak jest dyrektorem Instytutu Fotogrametrii i Kartografii Wydziału Geodezji i Kartografii Politechniki Warszawskiej
dr Paweł Pędzich jest pracownikiem Zakładu Kartografii Wydziału Geodezji i Kartografii PW

(Opracowanie zamieszczono na GeoForum w październiku 2006 r. Więcej informacji na temat stosowanych w Polsce państwowych układów współrzędnych w zakładce Geodezja/Transformacje oraz GIS/Przegląd odwzorowań Polsce)

część 4 z 4
«« « 1 2 3 4



dodaj komentarz

KOMENTARZE Komentarze są wyłącznie opiniami osób je zamieszczających i nie odzwierciedlają stanowiska redakcji Geoforum. Zabrania się zamieszczania linków i adresów stron internetowych, reklam oraz tekstów wulgarnych, oszczerczych, rasistowskich, szerzących nienawiść, zawierających groźby i innych, które mogą być sprzeczne z prawem. W przypadku niezachowania powyższych reguł oraz elementarnych zasad kultury wypowiedzi administrator zastrzega sobie prawo do kasowania całych wpisów. Użytkownik portalu Geoforum.pl ponosi wyłączną odpowiedzialność za zamieszczane przez siebie komentarze, w szczególności jest odpowiedzialny za ewentualne naruszenie praw lub dóbr osób trzecich oraz szkody wynikłe z tego tytułu.

komentarze menu_text_pl



reklama
reklama





2009 created by BRTSOFT.com
© 2005-2019 Geodeta Sp. z o.o.
mapa stronyprenumeratareklamakontakt